Сколькими способами можно составить число 20?

Составьте число 20, складывая ровно 8 нечетных чисел. Среди этих чисел разрешается иметь и одинаковые слагаемые.

Найдите все различные решения этой задачи и установите, сколько среди них будет таких сумм, которые содержат наибольшее число неодинаковых слагаемых.

Совет: Если выбирать числа наугад, вы не сможете быть уверены, что исчерпали все решения. Нужна некая система.

Пример для числа 10 и четырех нечетных слагаемых:

1+1+3+5=10
1+1+1+7=10
1+3+3+3=10
Других решений для числа 10 нет, перестановка слагаемых не создает новое решение. 
Посмотреть решение

Составление заданной суммы лучше начать с наибольших возможных слагаемых. По условию слагаемыми должны быть восемь нечетных чисел.

Рассуждаем так.

Ни одно из чисел 19, 17 и 15 не может быть слагаемым, так как не наберется остальных семь слагаемых. Если взять слагаемым число 13, то для составления числа 20 необходимо и достаточно прибавить к 13 семь раз 1:

13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20

Если первое слагаемое 11, то вторым слагаемым не могут быть 9, 7 или 5 (не набирается достаточного числа остальных слагаемых). Пробуем 3: 11 + 3 = 14.

До 20 остается шесть единиц и нам нужно 6 слагаемых. Следовательно, получаем второе решение:

11 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.

Берем первым слагаемым число 9. Семь не может быть вторым слагаемым (9 + 7 = 16, остается 4 единицы на 6 слагаемых). Пробуем 5. Имеем: 9 + 5 = 14. На 6 слагаемых остается 6 единиц. Это возможно. Получаем третье решение:

9 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.

Пробуем 3. Имеем: 9 + 3 = 12. Остается 8 единиц на 6 слагаемых. Прибавим еще 3. Тогда 9 + 3 + 3 = 15. Остается 5 единиц на 5 слагаемых. Получаем четвертое решение:

9 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.

Система проб теперь должна быть ясна. Эти рассуждения вы можете продолжить самостоятельно, полагая первым слагаемым 7, а затем 5 и 3. Всего получится 11 следующих решений:

13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
11 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
9 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
9 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
7 + 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
7 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 20
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 20 

Есть только одно решение (шестое сверху), которое приводит к сумме, состоящей из наибольшего числа (из четырех) неодинаковых слагаемых.

python books logo

Хотите решать больше задач по Python

Подписывайтесь на нас в Телеграм

×