Составьте число 20, складывая ровно 8 нечетных чисел. Среди этих чисел разрешается иметь и одинаковые слагаемые.
Найдите все различные решения этой задачи и установите, сколько среди них будет таких сумм, которые содержат наибольшее число неодинаковых слагаемых.
Совет: Если выбирать числа наугад, вы не сможете быть уверены, что исчерпали все решения. Нужна некая система.
Пример для числа 10 и четырех нечетных слагаемых:
1+1+3+5=10 1+1+1+7=10 1+3+3+3=10 Других решений для числа 10 нет, перестановка слагаемых не создает новое решение.Посмотреть решение
Составление заданной суммы лучше начать с наибольших возможных слагаемых. По условию слагаемыми должны быть восемь нечетных чисел.
Рассуждаем так.
Ни одно из чисел 19, 17 и 15 не может быть слагаемым, так как не наберется остальных семь слагаемых. Если взять слагаемым число 13, то для составления числа 20 необходимо и достаточно прибавить к 13 семь раз 1:
13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20
Если первое слагаемое 11, то вторым слагаемым не могут быть 9, 7 или 5 (не набирается достаточного числа остальных слагаемых). Пробуем 3: 11 + 3 = 14.
До 20 остается шесть единиц и нам нужно 6 слагаемых. Следовательно, получаем второе решение:
11 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.
Берем первым слагаемым число 9. Семь не может быть вторым слагаемым (9 + 7 = 16, остается 4 единицы на 6 слагаемых). Пробуем 5. Имеем: 9 + 5 = 14. На 6 слагаемых остается 6 единиц. Это возможно. Получаем третье решение:
9 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.
Пробуем 3. Имеем: 9 + 3 = 12. Остается 8 единиц на 6 слагаемых. Прибавим еще 3. Тогда 9 + 3 + 3 = 15. Остается 5 единиц на 5 слагаемых. Получаем четвертое решение:
9 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.
Система проб теперь должна быть ясна. Эти рассуждения вы можете продолжить самостоятельно, полагая первым слагаемым 7, а затем 5 и 3. Всего получится 11 следующих решений:
13 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 11 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 9 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 9 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 7 + 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 7 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 5 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 5 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20 5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 20 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 20
Есть только одно решение (шестое сверху), которое приводит к сумме, состоящей из наибольшего числа (из четырех) неодинаковых слагаемых.
